5.sınıf matematik

trigonometri

çarpanlara ayırma

ÇARPANLARA AYIRMA

A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.

B. ÖZDEŞLİKLER
1. İki Kare Farkı – Toplamı
1) a² – b² = (a – b)(a + b)
2) a² + b² = (a + b)² – 2ab
3) a² + b² = (a – b)² + 2ab
2. İki Küp Farkı – Toplamı
1) a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b² )
2) a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b² )
3) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)
4) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)
3. n. Dereceden Farkı – Toplamı
1) n bir sayma sayısı olmak üzere,
xⁿ – yⁿ = (x – y)(x^{n – 1} + x^{n – 2}y + x^{n – 3} y² + … + xy^{n – 2} + y^{n – 1}) dir.
2) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,
xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^{n – 1} – x^{n – 2}y + x^{n – 3} y² – … – xy^{n – 2} + y^{n – 1}) dir.
4. Tam Kare İfadeler
1) (a + b)² = a² + 2ab + b²
2) (a – b)² = a² – 2ab + b²
3) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)
4) (a + b – c)² = a² + b² + c² + 2(ab – ac – bc)

n bir tam sayı ve a ¹ b olmak üzere, • (a – b)2n = (b – a)2n • (a – b)2n – 1 = –(b – a)2n – 1 dir.

• (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

5. (a ± b)ⁿ nin Açılımı
Pascal Üçgeni

matematik resimleri

tam sayılar

kavramlar(doğru,ışın)

şiir

Moralim çok bozuk
Ardışık sayılardan
Toplayamıyorum bir türlü
Endişeleniyorum ondan
Mutlaka öğrenmeliyim
Arkadaşlarımdan önce
Toplamayı çıkarmayı
İyice öğrenmeliyim
Kurallarının hepsini.
Mutlaka öğrenmeli
Arkadaşlar bunları
Toplamayı paylaştırmayı
Eksiltmeyi çarpmayı
Mutlu yaşamak için
Alıştırmaları yapmayı
Toplantılarda çarşıda pazarda
İlla ki lazım olur bize her yerde
Korkmadan hemen çözmek gerek
Matematiktir matematık
Ağladığımız ders
Taki dönem sonunda
Eğer sıfır yoksa
Meraklanma
Ama eğer varsa
Taki evinin yolunun sonuna
İnsanlıktan çıkarsın
Kayıp düşsen matematik

matematikçilerin sözleri

İnsanoğlunun değeri bir kesirle ifade edilecek olursa; payı gerçek kişiliğini gösterir, paydası da kendisini ne zannettiğini, payda büyüdükçe kesrin değeri küçülür."
TOLSTOY


"Başka her şey de olduğu gibi matematiksel bir teori için de öyledir;güzellik algılanabilir fakat açıklanamaz."
Cayley, Arthur


"Gerçeği aramak onu elde etmekten daha kıymetlidir."
Einstein, Albert (1879-1955)


"Hayat sadece iki şey için güzel;matematiği keşfetme ve öğretme"
Simeon Poisson


Sık sık "matematik, teoremleri ispatlamaktan ibarettir" sözünü işitiriz.Bir yazarın temel işi cümle yazmak değil midir?
Rota, Gian-carlo


"Aptalların sorup akılı insanların cevap veremediği pek çok soru vardır."
Polya, George (1887, 1985)


"Akıllarımız sınırlı, fakat bu sınırlılığın şartları içersinde sonsuz olasılıklarla çevrilmişiz. İşte hayatın gayesi bu sonsuzluktan kavrayabildiğimiz kadar çok şey kavramak."
Whitehead, Alfred North (1861 - 1947)

çember ve daire

matematik karikatürleri

çokgenler

abaküsle toplama

POLİNOMLAR

POLİNOMLAR
A. POLİNOMLAR
olmak üzere,
P(x) = a₀ + a₁ × x + a₂ × x² + … + a_n × xⁿ
biçimindeki ifadelere x değişkenine göre, düzenlenmiş reel kat sayılı polinom (çok terimli) denir.
Burada, a₀, a₁, a₂, … a_n reel sayılarına polinomun kat sayıları,
a₀, a₁ × x , a₂ × x² , … , a_n × xⁿ ifadelerine polinomun terimleri denir.
a_n × xⁿ terimindeki a_n sayısına terimin kat sayısı, x in kuvveti olan
n sayısına terimin derecesi denir.
Derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun derecesi denir ve der[P(x)] ile gösterilir. Derecesi en büyük olan terimin kat sayısına ise polinomun baş kat sayısı denir.
Polinomlar kat sayılarına göre adlandırılırlar. Kat sayıları reel sayı olan polinomlara reel kat sayılı polinom, kat sayıları rasyonel sayı olan polinomlara rasyonel kat sayılı polinom, kat sayıları tam sayı olan polinomlara tam kat sayılı polinom denir.
Tanım

olmak üzere, P(x) = c biçimindeki polinomlara, sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 (sıfır) dır.

Tanım

P(x) = 0 biçimindeki polinoma, sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

Polinomların Eşitliği
Aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan polinomlar eşittir.
B. POLİNOMLARDA İŞLEMLER
1. Toplama İşlemi
İki polinom toplanırken; dereceleri aynı olan terimlerin kat sayıları kendi aralarında toplanır, sonuç o terimin kat sayısı olarak yazılır.
2. Çıkarma İşlemi
P(x) – Q(x) = P(x) + [–Q(x)]
olduğu için, P(x) polinomundan Q(x) polinomunu çıkarmak, P(x) ile
–Q(x) i toplamaktır. Bunun için çıkarma işlemini, çıkarılacak polinomun işaretini değiştirip toplama yapmak biçiminde ele alabiliriz.
3. Çarpma İşlemi
İki polinomun çarpımı; polinomlardan birinin her teriminin diğer polinomun her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimler toplamınarak yapılır.
4. Bölme İşleminin Yapılışı
Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer şekilde yapılır. Bunun için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:
1) Bölünen ve bölen polinomlar x değişkeninin azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2) Bölünen polinomun soldan ilk terimi, bölen polinomun soldan ilk terimine bölünür. Çıkan sonuç, bölümün ilk terimi olarak yazılır.
3) Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek şekilde bölünen polinomun altına yazılır.
4) Bölünenin altına yazılan çarpım polinomu, bölünen polinomdan çıkarılır.
5) Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.
Tanım

m > n olmak üzere, der[P(x)] = m ve der[Q(x)] = n olsun. P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm polinomu B(x) olsun. Buna göre, der[P(x) + Q(x)] = m, der[P(x) – Q(x)] = m, der[P(x) × Q(x)] = m + n, der[B(x)] = m – n, der[[P(x)]k] = k × der[P(x)] = k × m, der[[P(xk)]] = k × der[P(x)] = k × m dir.

C. P(x) İN x = k İÇİN DEĞERİ
P(x) = a₀ + a₁ × x + a₂ × x² + … + a_n × xⁿ
polinomunun x = k için değeri,
P(k) = a₀ + a₁ × k + a₂ × k² + … +a_n × kⁿ dir.
Kural

P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xn polinomunda x = 1 yazılırsa, P(1) = a0 + a1 + a2 + … + an olur. Bu durumda P(1) in değeri P(x) polinomunun kat sayıları toplamıdır.

Sonuç

Herhangi bir polinomda x yerine 1 yazılırsa, o polinomun kat sayıları toplamı bulunur. Örneğin, P(x + 7) polinomunun kat sayıları toplamı, P(1 + 7) = P(8) dir.

Kural

P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xn polinomunda x = 0 yazılırsa, P(0) = a0 olur. Bu durumda P(0) ın değeri P(x) polinomunun sabit terimidir.

Sonuç

Herhangi bir polinomda x yerine 0 yazılırsa, o polinomun sabit (x ten bağımsız) terimi bulunur. Örneğin, P(2x + 3) polinomunun sabit terimi, P(0 + 3) = P(3) tür.

D. P(x) İN (ax + b) İLE BÖLÜNMESİYLE ELDE EDİLEN KALAN
P(x) in ax + b ile bölünmesiyle elde edilen bölüm B(x), kalan K olsun. Buna göre,

Yani; P(x) polinomunun ax + b ile bölünmesiyle elde edilen kalanı bulmak için, ax + b = 0 denkleminin kökü olan için P(x) polinomunun değeri olan hesaplanır.
Sonuç

P(x) polinomunun x – a ile bölümünden kalan P(a) dır. P(x + b) polinomunun x – a ile bölümünden kalan P(a + b) dir. P(3x + b) polinomunun x – a ile bölümünden kalan P(3 × a + b) dir.

E. P(x) İN xⁿ + a İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN
Kural

Derecesi n den büyük olan bir polinomun xn + a ile bölümünden kalanı bulmak için, xn yerine –a yazılır. (xn + a = 0 ise, xn = –a)

F. P(x) İN (x – a) × (x – b) ÇARPIMI İLE BÖLÜNMESİ
Kural

1) P(x) polinomu (x – a) × (x – b) çarpımı ile tam olarak bölünebiliyorsa x – a ve x – b çarpanları ile de ayrı ayrı tam olarak bölünür. 2) x – a ve x – b aralarında asal polinomlar olmak üzere; P(x), bu polinomlara ayrı ayrı tam olarak bölünebiliyorsa, (x – a) × (x – b) çarpımı ile de tam olarak bölünür.

G. P(x) İN (a × x + b)² İLE BÖLÜNEBİLMESİ
P(x) polinomu (ax + b)² ile tam bölünebiliyorsa,
P(x) polinomu ve P’(x) polinomu ax + b ye tam olarak bölünür.
(P’(x), P(x) in türevidir.)
Buna göre, P(x) polinomu (ax + b)² ile tam bölünebiliyorsa,